Το Απολλώνιο πρόβλημα

Ο Απολλώνιος (Πέργα Παμφυλίας 262 π.Χ. -Αλεξάνδρεια Αιγύπτου 190 π. Χ.) υπήρξε μεγάλος Έλληνας μαθηματικός γνωστός στους σύγχρονους του ως ο ‘Μέγας Γεωμέτρης’, του οποίου η πραγματεία ‘Κωνικά’, που αποτελείται από 8 βιβλία είναι ένα από τα σημαντικότερα επιστημονικά έργα του αρχαίου κόσμου.

Σε ένα από τα έργα του, τις ‘Επαφές’ εξετάζεται το εξής πρόβλημα:

Δοθέντων τριών σημείων ή τριών κύκλων ή τριών ευθειών, να κατασκευασθεί ένας κύκλος που να εφάπτεται και στα τρία Η δυσκολότερη περίπτωση ,που αναφέρεται ως το πρόβλημα του Απολλώνιου, εμφανίζεται όταν τα τρία δοθέντα σχήματα είναι κύκλοι.

Ας δούμε όμως πιο αναλυτικά το πρόβλημα:

Έστω ότι οι συντεταγμένες των κέντρων των τριών δοθέντων κύκλων είναι οι (x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃) με ακτίνες r₁,r₂,r₃ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε τις συντεταγμένες του κέντρου του ζητούμενου κύκλου με (x,y) και την ακτίνα του με r.Η συνθήκη ,η οποία προϋποθέτει ότι ο ζητούμενος κύκλος εφάπτεται στους τρεις δοθέντες κύκλους, βρίσκεται παρατηρώντας ότι, η απόσταση ανάμεσα στα κέντρα των δύο εφαπτόμενων κύκλων είναι ίση με το άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους ανάλογα αν εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά. Άρα, έχουμε τις εξής εξισώσεις:

(x-x₁)²+(y-y₁)²-(r± r₁)²=0 (1)

(x-x₂)²+(y-y₂)²-(r± r₂)²=0 (2)

(x-x₃)²+(y-y₃)²-(r± r₃)²=0 (3)

ή

x²+y²-r²-2xx₁-2yy_1±2rr₁+x₁²+y₁²-r₁²=0 (4)

x²+y²-r²-2xx₂-2yy_2±2rr₂+x₂²+y₂²-r₂²=0 (5)

x²+y²-r²-2xx₃-2yy_3±2rr₃+x₃²+y₃²-r₃²=0 (6)

Όπως προαναφέραμε το (+) ή το (-) στις εξισώσεις διαλέγεται ανάλογα αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ή εσωτερικά .Οι εξισώσεις (1),(2),(3) είναι τρεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τρεις αγνώστους με την προϋπόθεση ότι οι δευτέρου βαθμού όροι είναι οι ίδιοι σε κάθε εξίσωση, όπως φαίνεται από τις (4),(5),(6).

• Στη συνέχεια αφαιρούμε την (2) από την (1) και τότε παίρνουμε την γραμμική εξίσωση ax+by+cr=d με a=2(x₂-x₁), b=2(y₂-y₁), c=2(-+r_2±r₁), d=x₁²+y₁²-x₂²-y₂²+r²₂-r₁² (7) και ομοίως αφαιρώντας την (3) από την (1) έχουμε ότι a΄x+ b΄y+ c΄r = d΄ με a΄=2(x₃-x₁), b΄=2(y₃-y₁), c΄=2(-+ r_3±r₁), d΄=x₁²+y₁²-x₃²-y₃²+r²₃-r₁² (8)

Λύνοντας ,τότε, τις δύο αυτές εξισώσεις ως προς x,y συναρτήσει του r και μετά αντικαθιστώντας στην(1) παίρνουμε μία δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς r ,η οποία είναι εύκολο να λυθεί. Όμως ,από αυτή τη διαδικασία θα προκύψουν δύο λύσεις , από τις οποίες μόνο μία θα είναι θετική. Μετά αντικαθιστούμε το r στην (7) και στην (8) και βρίσκουμε τα x,y, από τα οποία προσδιορίζουμε το ζητούμενο κύκλο.

Γενικά, υπάρχουν 8 λύσεις στο πρόβλημα του Απολλώνιου, δηλαδή όσοι είναι και οι συνδυασμοί των (+) και (-) στις εξισώσεις (1),(2),(3) ανάλογα εάν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ή εξωτερικά.

Υπάρχει, επίσης , περίπτωση τα x,y,r να μην είναι ρεαλιστικοί αριθμοί για την επίλυση του προβλήματος ,όπως συμβαίνει όταν οι τρεις δοθέντες κύκλοι είναι ομόκεντροι. Τότε ,είναι φανερό ότι δεν υπάρχει λύση στο πρόβλημα. Ακόμα, πρέπει να περιμένουμε εκφυλισμό της λύσης ,όπως στην περίπτωση ,που οι τρεις δοθέντες κύκλοι εκφυλιστούν σε τρία σημεία πάνω στην ευθεία .οπότε ο απολλώνιος κύκλος είναι αυτή η ευθεία. Τέλος, σημειώνουμε ότι τα r,x,y,είναι δυνατό να κατασκευαστούν με τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη μόνο, συμπέρασμα πολύ σημαντικό ,που καταδεικνύει την πολύ καλή θεμελίωση της λύσης του απολλώνιου προβλήματος. 

 Αλεξανδρίδης Ευστράτιος